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Séminaire
Méthodes mixtes et traitement du verrouillage numérique pour la résolution des inéquations variationnelles
Leila Slimane

On considère une classe de problèmes unilatéraux où intervient de façon singulière un petit paramètre e > 0. La résolution numérique directe de ce type de problèmes peut induire un phénomène de verrouillage numérique. Dans cet exposé, on présente l’analyse mathématique et numérique de cette classe de problèmes. Plus précisément, il s’agissait d’étendre certaines méthodes robustes, qui ont montré leur efficacité dans le cas des équations, aux inéquations variationnelles; ce sont principalement les méthodes conformes ou non et les méthodes mixtes.

Dans un cadre général, on donne des conditions suffisantes sur le problème discret primal à utiliser qui permettent d’avoir une convergence uniforme par rapport au paramètre e. L’application de ces résultats généraux montre que la discrétisation du problème de transmission raide de Signorini par les méthodes P1 conformes sur des maillages adaptés ou P1 non conformes sur des maillages quelconques, confirmée par des résultats numériques, conduit à des méthodes sans verrouillage.

La suite de l’exposé est consacrée à la résolution des problèmes unilatéraux par les méthodes mixtes. On donne un cadre abstrait, comprenant les formulations mixtes duales du problème de Signorini et celle de contact unilatéral en élasticité avec ou sans frottement. Sous des conditions qui étendent celles de Brezzi aux inéquations variationnelles, on établit des résultats d’existence, d’unicité et de stabilité. On effectue aussi des résultats de convergence et des estimations d’erreur dans le cadre d’approximation du problème. L’application de cette étude à l’approximation mixte duale du problème de Signorini et à l’approximation mixte du problème de contact unilatéral en élasticité incompressible donne des résultats de convergence uniforme.

Date: 2001-06-26 à 05:30
Endroit: salle 2750 - Pavillon Pouliot Mathématique pour l'industrie et la physique, INSA-Toulouse