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Séminaire
Discrétisations naturelles des opérateurs gradient, divergence et dediffusion, et analogues discrets de l'opérateur étoile de Hodge
Nicolas Robidoux
Une nouvelle méthode de solution d'équations aux dérivées partielles est appliquée à la solution de l'équation de la chaleur en régime stationnaire - div k grad d = g avec conditions aux frontières de Dirichlet, Neumann et/ou Robin. Au coeur de cette méthode : un analogue de l'opérateur étoile de Hodge, qui reconstruit approximativement les valeurs des intégrales de surfaces du flux normal d'un champ vectoriel (à travers les faces des cellules d'un maillage), à partir de ses intégrales tangentielles (le long de chemins duals). Une construction de cet opérateur basée sur l'interpolation des flux est présentée dans le cas de maillages ayant des cellules primales difféomorphiques à des cubes; dans le cas de maillages tétraédriques, les éléments de Whitney peuvent être utilisés de manière analogue. L'erreur de troncation d'une formule aux différences finies dépend du sens donné aux diverses quantités discrètes qui y apparaissent. Cette lapalissade est à la base de plusieurs méthodes aux volumes finis, puisqu'un choix judicieux de ces interprétations, appelées projections du fait qu'elles correspondent à la réduction d'espaces fonctionnels de dimension infinie à un nombre fini de quantités (il s'agit, en quelque sorte, de collections d'observables comme l'entendent les physiciens quantiques), permet d'améliorer économiquement la qualité des solutions numériques. Le théorème généralisé de Stokes - dont les théorèmes du potentiel, de la divergence et de Stokes sont des exemples - suggère des paires «naturelles» de formules aux différences finies et de projections. Les discrétisations des opérateurs différentiels extérieurs (par exemple, les opérateurs gradient, divergence et rotationel) ainsi obtenus sont alors exacts (aucune erreur de troncation). Les erreurs d'approximation proviennent conséquemment des discrétisations des propriétés matérielles, entendues comme operateurs liant des formes formes différentielles duales - par exemple, gradients et fluxes. L'usage systématique de telles formules aux différences finies pour la solution numérique de systèmes d'équations aux dérivées partielles dans lesquelles les opérateurs différentiels sont séparés des lois des matériaux, promet des méthodes numériques robustes et physiquement intuitives. Dans le cas de l'équation stationnaire de la chaleur sur l'intervalle - div k grad d = g, factorisée comme l'indique le diagramme de Tonti et devenant g = - div f, f = k e, e = grad d, on obtient une méthode de solution ayant un coût de 15 flops par point de maillage pour toutes les combinaisons consistantes de conditions frontières. Cette méthode converge même si le coefficient de diffusion k et le terme de source g ne sont ni continus ni bornés; de plus, il n'est pas nécessaire que le maillage soit lisse. Si 1/k est intégrable et non-zéro presque partout (notez qu'il n'est pas nécessaire que k soit coercitif), et g est intégrable, il est prouvé que les températures et flux calculés convergent (au moins) à l'ordre 1/2 (toutes les erreurs sont mesurées en norme max). Si, en outre, g est intégrable quadratiquement, les températures et les flux convergent au premier ordre. Si, en outre, les restrictions de g aux intervalles du maillage double appartiennent à l'espace de Sobolev H1 - ceci requiert que le maillage soit aligné avec les discontinuités du terme de source - les températures et les flux convergent au second ordre. Finalement, si k est coercitif, les valeurs calculées de la température convergent à l'ordre 1/2, même si g est une mesure de Borel (par exemple, une fonction delta).
Date: 2002-08-22 à 05:30
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