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Soutenance de thèse
Analyse théorique et numérique des conditions de glissement pour les fluides et les solides par la méthode de pénalisation
Ibrahima Dione
Département de mathématiques et de statistique

Nous nous intéressons aux équations classiques de Stokes et de l’élasticité linéaire stationnaires, posées dans un domaine $\Omega \in R^d, (d = 2, 3)$ de frontière $ \partial \Omega$ courbe et régulière, associées à des conditions de glissement et de contact idéal, respectivement. L’approximation par éléments finis de tels problèmes est délicate en raison d’un paradoxe de type Babuška-Sapondžyan : les solutions dans des domaines polygonaux approchant le domaine à frontière courbe et régulière ne convergent pas vers la solution dans le domaine limite.

L’objectif de cette thèse est d’explorer l’application de la méthode de pénalisation à ces conditions de glissement dans le but, notamment, de remédier à ce paradoxe. C’est une méthode classique et très répandue en pratique, car elle permet de travailler dans des espaces sans contraintes et d’éviter par exemple l’ajout de nouvelles inconnues comme dans la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude numérique en 2D de différents choix d’éléments finis et, surtout, de différents choix de l’approximation de la normale au bord du domaine. Avec la normale (discontinue) aux domaines polygonaux $\Omega_h$ engendrés avec les maillages de $\Omega$, les solutions par éléments finis ne semblent pas converger vers la solution exacte. En revanche, si on utilise des régularisations de la normale, des éléments finis isoparamétriques de degré 2 en vitesse (déplacement pour l’élasticité) ou une sous-intégration du terme de pénalisation, on observe une convergence, avec des taux optimaux dans certains cas.

Dans une seconde partie, nous faisons une analyse théorique (en dimensions 2 et 3) de la convergence. Les estimations a priori obtenues permettent de dire que même avec la normale discontinue aux domaines polygonaux, l’approximation par éléments finis converge vers la solution exacte si le paramètre de pénalisation est choisi convenablement en fonction de la taille des éléments, démontrant ainsi que le paradoxe peut être évité avec la méthode de pénalisation.

Date: 2013-11-13 à 04:30
Endroit: VCH-2870