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Séminaire
Stabilisation rapide d'une équation de Schrödinger
Ludovick Gagnon
Université Nice Sophia Antipolis

On considère le problème de stabilisation locale rapide d'une équation de Schrödinger bilinéaire unidimensionnelle. L'équation considérée modélise une particule confinée à un domaine borné où un champ électrique, induit par un laser par exemple, est utilisé pour agir sur l'état de la particule. Le problème de stabilisation rapide consiste à agir continûment sur la particule afin d'amener l'état de la particule, issu d'un état initial quelconque, à son état fondamental à vitesse donnée.

On montrera d'abord la stabilisation rapide de l'équation de Schrödinger bilinéaire linéarisée autour de l'état fondamental en utilisant une méthode de transformation intégrale. Cette méthode, introduite par Miroslav Krstic et très utilisée depuis une dizaine d'années, consiste à considérer une transformation intégrale qui, lorsque appliquée à l'état de la particule, donne l'état d'une particule solution d'une l'équation de Schrödinger rapidement stable. La stabilisation rapide s'obtient alors en montrant que cette transformation est inversible. Un point clé de cette démonstration repose sur l'introduction d'une nouvelle condition d'unicité de la transformation.

Nous montrerons ensuite comment obtenir la stabilisation rapide locale à l'aide de fonctions de Lyapunov. Finalement, un résultat de stabilisation pour des équations aux dérivées partielles linéaires abstraites sera présenté.

Date: 2017-01-09 à 15:30
Endroit: VCH-3840