Résumé

Youbissi, Fabien
2006-06-01
Résolution par éléments finis du problème de contact unilatéral par des méthodes d'optimisation convexe
Directeurs: Robert Guénette, Michel Fortin

Malgré de nombreux travaux sur le sujet, la résolution des problèmes de contact
constitue encore un défi pour le numéricien. Il existe deux types de problèmes de
contact : soit le contact unilatéral et le contact frottant. Dans cette thèse, nous al-
lons uniquement considérer le contact unilatéral. De plus, nous allons nous limiter
au cas de l'élasticité linéaire. Malgré ces hypothèses, les principales difficultés du
problème en grandes déformations y sont présentes. La difficulté majeure provient
de la non différentiabilité engendrée par la contrainte d'inéquation du contact. Plu-
sieurs auteurs utilisent des méthodes de régularisation afin d'obtenir un problème
différentiable soluble par l'algorithme de Newton. Nons croyons que cette stratégie
pose problème et qu'il est préférable de traiter le problème directement à partir de
l'inéquation variationnelle. Dans la thèse, nous allons proposer plusieurs stratégies de
résolution par éléments finis du problème de contact unilatéral. Tous les algorithmes
sont basés sur les méthodes puissantes et efficaces de l'optimisation convexe. En
premier lieu, on propose un algorithme de type gradient conjugué avec projection
sur le cône positif. Cet algorithme baptisé GCP, s'est révélé fort efficace dans le cas
du contact entre un solide déformable et une fondation rigide. On propose aussi un
algorithme ALG3 basé sur une formulation à trois champs du problème de contact
résolu par la méthode du Lagrangien Augmenté. Finalement on propose un algo-
rithme ALGCP qui combine à la fois l'approche du Lagrangien Augmenté ainsi que
la méthode du Gradient Conjugué Projeté (GCP). Les résultats numériques mon-
treront la supériorité de ALG3 pour les problèmes de contact unilatéral à plusieurs
corps.

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