Résumé

El maliki, Abderrhaman
2007-06-01
Résolution de problèmes aux limites à l'aide de méthodes itératives hiérarchiques à préconditionneur variable
Directeurs: Robert Guénette, Michel Fortin

L'objectif des travaux présentés dans la thèse concerne la résolution par itérations
de systèmes algébriques à grande échelle. Ces systèmes sont issus de la discrétisation
par éléments finis de problèmes aux limites. Dans la majorité des cas en 3D, la phase
de résolution s'avère l'étape la plus exigeante en terme de ressources informatiques.
Ainsi, il est impératif de développer des méthodes itératives efficaces et robustes pour
un large éventail de problèmes aux limites. Dans cette thèse, nous nous plaçons dans
le cadre des méthodes itératives de Krylov à préconditionneur variable, c'est-à-dire
autorisant une flexibilité au niveau du choix du préconditionnement en cours d'itéra­
tion. Nous visons principalement des problèmes de type convection-diimsion, d'élas­
ticité et de Navier-Stokes discrétisés par des éléments finis quadratiques. Afin de
réduire les coûts inhérents aux éléments quadratiques, nous proposons une méthode
de résolution multi-niveaux basée sur la hiérarchie naturelle entre les éléments finis
linéaires et quadratiques d'où le nom de méthode hiérarchique. Elle possède plusieurs
points en commun avec les méthodes multi-grilles mais a l'avantage de s'appliquer
aux géométries complexes et aux maillages non-structures. L'utilisation de cette mé­
thode comme préconditionneur à une méthode de Krylov à préconditionneur variable
permet d'obtenir une méthode très efficace.
L'autre partie de la thèse, concerne la résolution globale et itérative des systèmes
de type point selle. Ces systèmes proviennent de la discrétisation des équations linéa­
risées du problème de Navier-Stokes. La résolution efficace de ces systèmes joue un
rôle majeur dans le traitement numérique des équations de Navier-Stokes. Pour cela,
nous avons mis en place un préconditionneur adroite de format triangulaire par bloc.
Pour rendre ce préconditionneur efficace, nous avons fait appel à trois ingrédients :
l'ajout du terme rV(div(u))
aux équations continues de Navier-Stokes, une réso­
lution efficace en vitesse par la méthode hiérarchique et une bonne approximation
du complément de Schur. Nos tests numériques montrent l'efficacité des méthodes
présentées dans ce travail.

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