1er Symposium canadien en analyse numérique et calcul scientifique
Mardi, 18 juin
Salle Des Plaines B
16h00
Parallel in Space (and Time) algorithms for PDEs
Haynes, Ronald
Memorial University of Newfoundland

Here we consider the development and analysis of algorithms for the numerical solution of PDEs that are particularly suited to take advantage of evolving computing hardware - available commodity clusters, hybrid CPU-GPU systems and multicore desktop machines.   Such algorithms consist of three modules: (1) a procedure to step forward in time, (2) the computation of a new spatial mesh as required, and (3) the solution of the (physical) PDE on the newly constructed mesh.  Domain decomposition (DD) parallelizes a computation by partitioning the spatial domain into subdomains. The solution on each subdomain is computed by individual processors or cores. With appropriate conditions to transmit solution information between cores, the subdomain solutions can be rapidly combined to give a solution to the original problem. The application of DD methods for the physical PDE, step (3) above, is well established. Here we will consider the application of DD to the PDE based mesh generation problem used in step (2) above.   If time permits we will show how to couple the Revisionist Integral Deferred Correction approach (for small scale parallelism in time) with domain decomposition to give a fully parallel space-time method.

16h30
B-Spline Collocation Software for PDEs with Efficient Interpolation-Based Spatial Error Estimation
Muir, Paul
Saint Mary's University

Over the past decade we have developed two method-of-lines B-Spline collocation software packages, BACOL and BACOL, for the numerical solution of 1D parabolic PDEs. These packages have been shown to be efficient, reliable and robust, especially for problems with solutions exhibiting sharp layers, and for stringent tolerances. The packages feature adaptive control of estimates of the spatial and temporal errors. In BACOL the temporal integration and error control is handled by the BDF solver DASSL, while BACOLR employs the Runge-Kutta solver RADUA5.

While the BACOL/BACOLR spatial error estimates are generally quite reliable, the spatial error estimation algorithm involves the (expensive) computation of two collocation solutions of orders $p$ and $p+1$. (The higher order solution is used to provide a spatial error estimate for the lower order solution.) This talk will discuss recent work investigating more efficient spatial error estimation algorithms based on (i) an order $p+1$ (superconvergent) interpolant that allows us to avoid the computation of the higher order collocation solution, and (ii) an order $p$ interpolant, whose error agrees asymptotically with the error of the lower order collocation solution, that allows us to avoid the computation of the lower order collocation solution. We have implemented new, more efficient versions of BACOL and BACOLR based on these new error estimation schemes that we call BACOLI and BACOLRI. We provide numerical results comparing the original versions of BACOL and BACOLR with the new versions and show that the latter can be about twice as fast as the originals.

17h00
Estimateurs a posteriori et adaptation de maillages dans le cadre des méthodes d’éléments finis mixtes duales.
Farhloul, Mohamed
Département de mathématiques et de statistique, Université de Moncton

Un des problèmes qui se pose dans l’analyse de la méthode des éléments finis est dû aux singularités de la solution du problème posé. Dans ce cas, on ne peut pas obtenir des estimations d’erreurs a priori optimales en utilisant un maillage uniforme. Un premier remède à ce problème est le raffinement du maillage (suivant certaines règles bien établies) autour du coin rentrant du domaine qui cause la singularité de la solution. Cette façon de faire suppose qu’on connaît la forme analytique de la singularité.

Une autre façon d’obtenir des résultats numériques performants et à moindre coût est de développer des estimateurs a posteriori afin d’utiliser l’adaptation de maillage. Il est maintenant bien établi que les estimateurs a posteriori sont des outils performants dans les techniques de raffinement de maillage. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents pour des estimateurs a posteriori dans le cadre des méthodes d’éléments finis mixtes duales. Je commencerai par le problème de Laplace afin de dégager les idées principales des estimateurs a posteriori. Par la suite, je présenterai des résultats récents pour les problèmes du p-Laplacien, de Stokes et de Navier-Stokes. Des résultats numériques, corroborant les résultats théoriques, seront présentés.

17h30
Étude sur l'utilisation de l'erreur résiduelle comme mesure de la qualité des solutions numériques en CFD
Labbé, Paul
Institut de recherche d'Hydro-Québec

La CFD propose une méthodologie pour approximer numériquement la solution des équations de Navier-Stokes. Par ailleurs, le contrôle de l'erreur d'interpolation a beaucoup de succès à guider les processus adaptatifs vers des solutions numériques qui semblent être de grande qualité. Or, dans les cas où les problèmes ont des variables primaires de nature différente, et dans lesquels les équations à résoudre sont de nature différente, on ne dispose pas de mesure claire de la qualité des solutions numériques. On présente ici quelques raisons qui motivent l'utilisation de l'erreur résiduelle comme principe unificateur dans l'évaluation de la qualité des solutions numériques. On présente un problème 1D permettant de comprendre le contrôle de l'erreur d'intepolation. On étend ensuite l'analyse à l'erreur résiduelle afin de comparer le comportement des deux mesures dans ce contexte.

18h00
Best Practices for Scientific Computing
Aruliah, Dhavide
Faculty of Science, University of Ontario Institute of Technology

Many scientists trained outside of computer science departments today are self-taught programmers learning computing on the fly as their research careers progress. An unfortunate consequence of this trend is that many of us are unaware of tools and practices that would improve our research lives considerably. I shall describe in this talk a set of best practices for scientific software development with a solid foundation in software engineering research. When adopted, these practices can improve the reliability of our scientific software and our scientific productivity.


This is joint work with Greg Wilson, C. Titus Brown, Neil P. Chue Hong, Matt Davis, Richard T. Guy, Steven H.D. Haddock, Katy Huff, Ian M. Mitchell, Mark D. Plumbley, Ben Waugh, Ethan P. White, and Paul Wilson.