Test récents cylindre encastré de Bathe et al

Dans le cas du cylindre on trouve parfois plusieurs minima et maxima (maillage trop grossier?). Dans le cas du maillage uniforme les valeurs optimales pour alpha semblent irrégulières. Sauf dans les cas 1/100 et 1/1000 pour N = 8, la différence entre les énergies change de signe (au moins une fois) ce qui nous assure un minimum à zéro pour |E_c-E_nc|.

Maillage N = 8


100 1000 10000
N = 4 0.143 (nz) 0.00173488 (nz) Min_1 3.8e-5
Min_2 0.0015744 *
Max 0.0001975
N = 8 Min 0.028
Max 0.16		 Min_1 0.000604
Min_2 0.028 *
Max_1 0.0032084
Max_2 0.18*		 Min 0.03981
Max 0.17
N = 16 Min 0.01816
Max 0.23		 Min 0.0006625
Max 0.01		 Min_1 7.3e-7
Max 0.0001445
N = 32 Min 0.00354
Max 0.208		 Min 0.00021375
Max 0.011		 Min 5.23e-5
Max 0.001
Tableau des valeurs optimales de alpha pour les maillages 4, 8, 16 et 32 et pour les cas 1/100, 1/1000 et 1/10000

"nz" indique qu'il s'agit d'un minimum mais que la fonction n'est pas nulle en ce points (pas de changement de signe). Les valeurs avec un "*" sont présentées comme des valeurs isolées dans les graphiques.

  • Pour le cas 1/100 avec maillage uniforme. La différence |E_c-E_nc| étant petite relativement à |E-E_c| on la multiplie par un facteur 10. Dans les graphes Min correspond à la courbes créée en utilisant la valeur de alpha minimisant la différence d'énergie et Max correspont au point donnant un maximum local. Différence conforme/référence et conforme/non-conforme en fonction de alpha. (CLIQUER POUR AGRANDIR)

    N=4

    N=8
    N=16
    N=32
    Convergence en fonction de N = 4, 8, 16, 32.

    t/L=1/100

    t/L=1/100 (loglog)
  • Pour le cas 1/1000 avec maillage uniforme. La différence |E_c-E_nc| étant petite relativement à |E-E_c| on la multiplie par un facteur 10. Dans les graphes Min (Max) correspond à la courbes créée en utilisant la plus petite valeur de alpha minimisant (resp. maximisant "localement") la différence d'énergie. Min_2 (Max_2) correspond au deuxième point minimisant (resp. maximisant) en ordre croissant. Min_2 et Max_2 sont des points isolés dans les graphes Différence conforme/référence et conforme/non-conforme en fonction de alpha.CLIQUER POUR AGRANDIR)

    N=4

    N=8
    N=16
    N=32
    Convergence en fonction de N = 4, 8, 16, 32.

    t/L=1/1000

    t/L=1/1000 (loglog)
  • Pour le cas 1/10000 avec maillage uniforme. La différence |E_c-E_nc| étant petite relativement à |E-E_c| on la multiplie par un facteur 10. Dans les graphes Min correspond à la courbes créée en utilisant la plus petite valeur de alpha minimisant la différence d'énergie. Min_2 correspond au deuxième point minimisant (en ordre croissant) et Max correspond au point donnant un maximum local. Min_2 est considéré comme un point isolé dans le graphe. Différence conforme/référence et conforme/non-conforme en fonction de alpha. (CLIQUER POUR AGRANDIR)

    N=4

    N=8
    N=16
    N=32
    Convergence en fonction de N = 4, 8, 16, 32.

    t/L=1/10000

    t/L=1/10000 (loglog)
  • Convergence pour les cas 1/100, 1/1000 et 1/10000 avec maillage uniforme. (CLIQUER POUR AGRANDIR) Convergence en fonction de N = 4, 8, 16, 32 pour les trois épaisseurs et pour les deux valeurs de alpha (Min et Max). On exclu les valeurs isolées provenant des maillages grossiers (N=4 et 8).

    Min
    Min (loglog)

    Max
    Max (loglog)
  • Étude de l'effet de l'utilisation de alpha optimal sur l'erreur, |1-E_c/E|. Pour cela on va calculer la solution pour différentes de valeurs de alpha. Les valeurs choisies sont alpha = 1 (intégration exacte), 0.5 et 0.0001. 

    1/100

    1/100 (log-log)
    1/1000

    1/1000 (log-log)
    1/10000

    1/10000 (log-log)